✎ Inéquation quotient

On souhaite résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(\dfrac{9x-6}{-2x+8}\leqslant0\).
L'inéquation est définie si et seulement si \(-2x+8\neq 0\) soit \(-2x\neq -8\) soit \(x\neq\dfrac{-8}{-2}\) soit  \(x\neq4\).

4 est appelé valeur interdite.

On résout les équations \(9x-6=0\) et \(-2x+8=0\).
\(\begin{array}{rl}9x-6=0 & \Leftrightarrow 9x=6\\& \Leftrightarrow x=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\end{array}\)                  \(\begin{array}{rl}-2x+8=0 &\Leftrightarrow -2x=-8\\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{-2}=4\end{array}\)
Comme pour les inéquations produits, on dresse un tableau de signes tel que :

• une ligne correspond au signe du numérateur \(9x-6\), 
• une ligne correspond au signe du dénominateur \(-2x+8\), 
• une ligne correspond au signe du quotient \(\dfrac{9x-6}{-2x+8}\) . On symbolise, dans cette ligne, la valeur interdite par une double barre.

On conclut : l'ensemble des solutions de l'inéquation \(\dfrac{9x-6}{-2x+8}\leqslant0\) est \(S=\left]-\infty ; \dfrac{2}{3}\right]\cup\left]4 ; +\infty\right[\).